terça-feira, 15 de julho de 2008

A linguagem Matemática

Ao longo dos anos, os matemáticos foram criando símbolos, com a finalidade de exprimir com clareza e brevidade sua linguagem escrita.

Com tempo, o conjunto de símbolos foi se ampliando e a matemática adquiriu uma linguagem própria, de caráter universal.

Hoje, pessoas do mundo todo, independentemente de sua nacionalidade, utilizam os mesmos símbolos matemáticos. Por exemplo, a sentença:

“x pertence ao conjunto A”

Na linguagem matemática, em qualquer país, escreve-se simplesmente:

"x E A"

Uma vez compreendidos, os símbolos matemáticos comunicam idéias com elegância e precisão.

Porém, não há como negar que essa linguagem intimida quem desconhece e pode dar a impressão de que esconde mistérios indecifráveis.

Função Modular

Função Modular

Uma aplicação de R em R recebe o nome de função módulo ou modular
quando a cada x R associa o elemento |x| R. Simbolicamente, escrevemos
f(x) = | x |
Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular
pode ser definida também da seguinte forma:


f(x) =


Conseqüentemente, o gráfico da função modular é a reunião de duas
semi-retas de origem O, que são as bissetrizes do 1º e 2º quadrantes.
Como o módulo de um número real é sempre positivo, o conjunto
imagem desta função é Im = R+, isto é, a função modular somente assume
valores reais não negativos.





Gráfico da Função Modular

De acordo com o que vimos acima, o gráfico da função modular é
simétrico em relação ao eixo OY, e tem a seguinte aparência:





Movimento dos Gráficos de Função Modular

I. Translações Verticais: Funções do tipo y = f(x) + c

Exemplo: Qual a diferença entre os gráficos de y = | x | e y = | x | - 2?
Vejamos...
Como a própria expressão y = |x| - 2 estão nos dizendo, o “novo valor de”.
“y” é igual ao “antigo valor de y”, MENOS 2.
Isso se traduz assim: o novo gráfico é obtido do anterior por uma
translação vertical, neste caso, de 2 unidades para BAIXO.
A figura a seguir mostra alguns pontos do gráfico da função y = | x | e os
correspondentes pontos do gráfico da função y= | x | -2, que sofreram uma
translação VERTICAL.




II. Translações Horizontais: Funções do tipo y = f(x+c)

A interpretação nestes casos é diferente. Vejamos o exemplo abaixo:

Exemplo: Qual a diferença entre os gráficos de y = | x | e y = |x -3|?
Observe inicialmente que o “vértice” da função modular y = |x| é o ponto
O= (0,0). No caso da função y = |x-3|, quando x = 3 é que temos:
y = | 3 - 3 | = | 0 | = 0. Logo, o “vértice” da nova função é o ponto P = (3,
0), que fica 3 unidades à direita do ponto O.

Antes o movimento era para cima ou para baixo, agora o movimento é
para a direita ou para a esquerda.


Movimento de Gráficos de Funções

Estudamos acima os movimentos de translação (vertical e horizontal)
tomando como base a função modular f(x) = | x |. Vamos generalizar estes
movimentos para funções y = f(x) quaisquer.
Além das translações (verticais e horizontais) de um gráfico, podemos
ter reflexões em relação ao eixo OX, reflexões em relação ao eixo OY, ou até
mesmo reflexões parciais.
Apresentamos a seguir um resumo dos tipos de movimentos para uma
função y = f(x):

1.0 - Movimentos de Translações:
1.1 – Translação para cima: y = f(x)+k
1.2 – Translação para baixo: y = f(x)-k
1.3 – Translação para a direita: y = f(x-k)
1.4 – Translação para a esquerda: y = f(x+k)